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17. Oct. 2017

Schwierige Rechenaufgabe

Eine äußerst schwierige Rechenaufgabe spaltet Deutschland – gerade wieder am 23.12.2012 die Facebook-Abonnenten des SZ-Magazins. Und hier ist sie, in voller Schönheit:

Aufgabe

Lassen wir einmal den Kalauer unter den Tisch fallen, der die Anweisung wörtlich nimmt und die Antwort „IT“ erfordert. Und schreiben wir das erst mal mit den Operationszeichen auf, die wie im Matheunterricht gelernt haben:

6−1·0+2:2

Wie ist das zu lösen?

Taschenrechner nehmen?

Wer die Aufgabe mit einem einfachen Taschenrechner angeht, erhält meist 1:

6−1=5; 5·0=0; 0+2=2; 2:2=1

Das entspricht einer einfachen Von-links-nach-rechts-Durchrechnung und scheint richtig zu sein.

An dieser Stelle sollten wir uns klarmachen, daß diese Aufgabe eine rein theoretische ist. Kaum jemandem von uns stellen sich solche Aufgaben im praktischen Alltag. Daher sind sie uns zunächst einmal fremd. Es handelt sich um eine Verkettung von mathematischen Zeichen – nämlich Zahlen und Rechenoperatoren. Und nun ist es so, dass für diese Schreibweise gewisse Regeln festgelegt sind, nach denen sie verstanden werden will.

Und weil es diese Regeln gibt, ist das Ergebnis 1 eben leider nicht richtig. Aber, wie gesagt: Diese Regeln sind nur eine Festlegung. Man muss sie halt kennen, wenn man die mathematische Formelschreibweise anwendet. (Viele bessere Taschenrechner machen das heute sogar schon richtig!)

Rechenregeln

Eine dieser Regeln, die für die Interpretationen eines solchen Ausdrucks gelten, lautet „Punktrechnung vor Strichrechnung“. Das ist etwas blöd formuliert. Genauer: Multiplikation und Division haben Vorrang vor Addition und Subtraktion. Noch anders ausgedrückt: „Mal“ und „Durch“ kommen vor „Plus“ und „Minus“ dran. Das ist kein Naturgesetz, und deshalb ist es auch nicht nachprüfbar. Es ist einfach eine Vereinbarung. Man hätte auch was anderes vereinbaren können, aber man hat es so vereinbart.

Diese Vereinbarung hat aber Auswirkungen auf unsere Aufgabe, weil da alle vier Grundrechenarten bunt gemischt sind. Die Regel erfordert, daß wir die mit · und : gebildeten Ausdrücke, also Multiplikation und Division, zuerst ausrechnen. Und mit diesen „Zwischenergebnissen“ wird dann der Rest gerechnet. Ich habe die „Rechengruppen“ mal farbig hervorgehoben:

6 − 1·0 + 2:2
1·0 = 0; 2:2 = 1
6 − 0 + 1 = 7

Und nur das ist das richtige Ergebnis.

Textaufgabe

Natürlich werden solche Aufgaben leichter, wenn man sie als Text formuliert. Allerdings muß man darauf achten, richtig zu „übersetzen“. Da die Aufgabenteile mit „mal“ und „durch“ Vorrang haben, lautet unsere Aufgabe als Text folgendermaßen:

Was erhält man, wenn man von Sechs genau ein Mal nichts subtrahiert (−1·0) und das Verhältnis von Zwei und Zwei addiert (+2:2)?

Und das ergibt Sieben: Wenn man von Sechs (egal wie oft) nichts subtrahiert, bleibt es Sechs, und das Verhältnis zweier gleicher Zahlen (außer Nullen) ist immer Eins.

Was man falsch machen kann

Ergebnis: 1

Diesen Fehler hatten wir schon: einfach von links nach rechts durchrechnen, ohne die Spielregeln zu beachten, die in der mathematischen Formelschreibweise nun mal gelten.

Ergebnis: 5

Dummerweise führen mehrere Wege zur 5, aber alle sind falsch. Ich fange mit dem beliebtesten an.

Möglichkeit 1, auf 5 zu kommen: Man wendet zwar „Punkt vor Strich“ an, rechnet dann aber zuerst die Summe „0+1“ aus und subtrahiert das von der 6:

6−(0+1) = 5

Eine Regel „Addition vor Subtraktion“ gibt es aber nicht. Addition und Subtraktion stehen in unserem klammerlosen Ausdruck

6−0+1

gleichberechtigt nebeneinander. Gleichberechtigt heißt, daß hier mit der 6 zwei Sachen geschehen: 0 wird subtrahiert, 1 wird addiert. Egal, in welcher Reihenfolge. Wenn ich sechs Äpfel habe, keinen wegnehme und noch einen dazulege, habe ich sieben. Ich kann auch erst einen dazulegen und dann keinen wegnehmen. Wir haben sogar mal gelernt, daß man innerhalb reiner Strichrechnung nach Belieben umstellen kann (Kommutativgesetz), wenn man die jeweiligen Vorzeichen an ihren Zahlen läßt:

(+)6−0+1 = (+)6+1−0 = −0+1+6 = +1−0+6 = 7

Aber das Minuszeichen auf den gesamten Ausdruck „0+1“ zu beziehen ist keine „andere Möglichkeit“, sondern es ist falsch! Es ist deshalb falsch, weil das Minuszeichen nur zur Null gehört, nicht auch noch zur Eins. Zum Teilergebnis „0+1“ würde das Minuszeichen nur dann gehören, wenn da eine entsprechende Klammer stünde, wie oben dargestellt. Ohne Klammer steht das Minuszeichen aber nur vor der Null, nur die Null wird also subtrahiert, die Eins hat ein Pluszeichen und wird zur Sechs addiert.

Möglichkeit 2, auf 5 zu kommen: Man läßt bei „6−0+1“ die Null wegfallen (weil die ja eh nichts ändert) und geht dann davon aus, daß das Minuszeichen das Plus in ein Minus verwandelt. Das ist deshalb falsch, weil das Minuszeichen das Vorzeichen der Null ist. Es ist ja gar nicht die Null allein, die „nichts ändert“, sondern die Subtraktion „−0“. Die muß also komplett raus, und aus „6−0+1“ wird mitnichten „6−+1“, sondern „6+1“ – voilà.

Möglichkeit 3, auf 5 zu kommen:

(6−1)·(0+(2:2)) = 5·(0+1) =5·1 = 5

Das ist deshalb falsch, weil man dann am Anfang Strich- vor Punktrechnung durchführt statt umgekehrt. Man rechnet damit eine ganz andere Aufgabe als die, die dasteht.

Möglichkeit 4, auf 5 zu kommen:

(6−1)·(0+2):2 = 5·2:2 = 10:2 = 5

Das ist konsequent „Strichrechnung vor Punktrechnung“. Hier stellen wir die geltende Regel komplett auf den Kopf.

Ergebnis: 0

Häufig liest man auch den Kommentar: „Da wird mit Null multipliziert, das Ergebnis ist also auf jeden Fall Null!“ Antwort: Mit Null multipliziert wird in der Aufgabe nur die 1 (und das ergibt natürlich Null), alles andere wird addiert und subtrahiert. Würde der ganze Ausdruck mit Null multipliziert, etwa so:

0·(6−1+2:2)

– dann wäre das Ergebnis natürlich Null. Aber auch das ist eine andere Aufgabe als die gegebene.

„Das geht gar nicht!“

Wer der Ansicht ist, mit Null dürfe überhaupt nicht multipliziert werden: doch, es darf. Nur dividieren darf man nicht durch Null. Und nullte Wurzeln gibt es nicht. Aber alle anderen Operationen gehen:

2+0=2
2−0=2
2·0=0
2:0 liegt undefiniert im Unendlichen, aber 0:2=0
2⁰=1

Besserer Taschenrechner (oder Google)

Viele wissenschaftliche Taschenrechner können heute schon die Punkt-vor-Strich-Regel beachten. Und wer die Aufgabe einem richtigen Algebraprogramm vorwirft, bekommt auch das richtige Ergebnis. Ich habe es mal mit maxima probiert:

Maxima 5.27.0 http://maxima.sourceforge.net
using Lisp GNU Common Lisp (GCL) GCL 2.6.7 (a.k.a. GCL)
Distributed under the GNU Public License. See the file COPYING.
Dedicated to the memory of William Schelter.
The function bug_report() provides bug reporting information.
(%i1) 6-1*0+2/2;
(%o1)                                  7

Na also ;-)

Und wer kein Algebraprogramm hat: Google macht es auch richtig.

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